СОПРОТИВЛЕНИЕ ТРЕНИЯ ПЛОСКОЙ ПЛАСТИНКИ

Пограничный слой плоской пластинки. Развитие форм самолета можно символически изобразить в виде поворота плоской пла­стинки на 90°.

Действительно, изложение основ сопротивления самолета в старых учебниках обычно приходилось начинать с рассмотрения сопротивления плоской пластинки, расположенной перпендику­лярно набегающему на нее потоку. Затем, прежде чем излагать вопрос о подъемной силе и сопротивлении крыла, рассматрива­лась пластинка, поставленная под углом к потоку. В настоящее время, поскольку основным сопротивлением современного само­лета является сопротивление трения, рационально перед рассмот­рением сопротивления крыла также провести анализ сопротивления плоской пластинки, но только повернутой на 90°, т. е. лежащей в плоскости обтекающего ее потока.

Естественно, что при таком положении Плгстинки ее лсбовое сопротивление вызывается целиком сопротивлением трения:

х=хг

Поверхность трения плоской пластинки, находящейся в потоке, равна удвоенной площади пластинки F =2S. Коэфициент трения плоской пластинки cf мы будем относить не к единице площади, а к единице поверхности, в отличие отcXf крыла, у кото­рого коэфициент сопротивления трения будет относиться не к поверхности, а. как это обычно принято, к площади крыла S.

Широкие теоретические и экспериментальные исследования по­граничного слоя, основоположником которых является Прандтль [6, 7], дали к настоящему времени достаточный материал, на основании которого можно при помощи чисто инженерных под­счетов или готовых таблиц и графиков определять сопротивление трения плоской пластинки и переходить далее к сопротивлению крыла, оперения, фюзеляжа и моторных гондол.

При набегании потока на пластинку образуется ламинарный пограничный слой. Его толщина по мере удаления от ребра атаки пластинки все время увеличивается. Связь между ско­ростью потока V (в данном случае V см. фиг. 1), расстоя­

нием х от ребра атаки и толщиной пограничного слоя в опреде­ляется по теории пограничного слоя уравнением:

0)

Мы видим, что толщина ламинарного пограничного слоя прямо пропорциональна корню квадратному от его длины и обратно пролерциональна корню квадратному от скорости обтекания пластинки.

Преобразовывая в формуле (1) подкоренное выражение, по­лучаем:

т. е. для заданного расстояния х толщина 8 обратно пропорцио-

r, X-

нальна корню из /<<?=—■—.

Напряжение трения (сила трения на единицу поверхности) при ламинарном пограничном слое равно

(3)

VI3 этого выражения следует, что напряжение трения неоди­наково по всей поверхности пластинки. По мере удаления от ребра атаки оно надает обратно пропорционально корню квадрат­ному от расстояния х.

Коэфициент трения сг при ламинарном пограничном слое по­лучается в результате интегрирования по длине пластинки Ь:

с (4)

V — y Re ■ V ‘

Re в формуле (4) подсчитывается по длине пластинки.

Таким образом оказывается, что при увеличении Re коэфици­ент сопротивления трения не остается постоянным, а заметно і: а дает. Если в обычное выражение Х( подставить си в раскрытом виде, заменив площадь пластинки S, имеющей размах I и глу­бину (по потоку) Ь, на Ы, то мы получим:

ХГл = — prscf,~ 0,6641 у up bV1’5.

Следовательно, сопротивление трения пропорционально не

і

V[3], а I/1′[4] и не площади пластинки, a lb[5].

Для турбулентного пограничного слоя, считая, что профиль, скорости в пограничном слое определяется соотношением и—

— V ("й )[6] . Прандтль получил следующие выражения для тол­щины пограничного слоя, напряжения трения и козфициента трения плоской пластинки:

5Т = 0,37 х = 0,37 ( у’у х 6 , (6>

V Re

т_ і

Тт = 0,023Р (7)

0,074

5____

VRe

Мы видим-, что толщина турбулентного пограничного слоя

1 4

* растет пропорционально не х2 , а хъ, т. е. значительно быстрее толщины ламинарного слоя. Увеличение скорости относительно мало влияет на толщину слоя, так как V входит в выражение под корнем пятой степени. cf не остается постоянным при уве­личении Re, но падает более замедленно, чем еул. Выражение для сопротивления трения пластинки площади lb принимает вид:

ХГт = р —с,, lb = 0,074 І V’’[7] 60,8 Zv°’2. * (9)

Следовательно, в данном случае опять-гаки сопротивление пропорционально не Vі, а У1’6 и не 5, а /А0’8.

В некоторых случаях для облегчения математических преоб­разований удобно применить стеленную формулу Хановича, даю­щую при Re в пределе 2-Ю[8]— 10 • 10е отличное совпадение с формулой (10):

Сравнивая cft Я сл, мы видим, что

Правильность формул i(4) и (10) подтверждалась многочислен­ными экспериментами; результаты одного из них, дроведенного на очень большом диапазоне чисел Рейнольдса [16], показаны на фиг. 14.

Фиг. 14. Зависимость Cf плоской пластинки от Re. Кривые получены по расчету; точки — экспериментальные данные.

Точка перехода ламинарного пограничного слоя в турбу­лентный. При обтекании плоской пластинки, как было уже указано выше, ламинарный пограничный слой не может сохра­няться до больших значений Re. Если мы, продувая пластинку, бу­дем повышать скорость, тс. при какой-то скорости V, на конце пластинки ламинарный пограничный слой станет турбулентным; обозначая длину ламинарного участка через tu получим:

Re,=

Для плоской пластинки условия, вызывающие переход лами­нарного слоя в турбулентный, могут характеризоваться только числом Рейнольдса Re,. Поэтому Re, должно оставаться постоян­ным, и, следовательно, при дальнейшем повышении скорости до величины V„ точка перехода передвинется ближе к ребру атаки пластинки и t, окажется меньше t, (фиг. 15).

Так как Re — -^, a Re, = ~, то, знак Ret и Re, можно из

t Re*

отношения = определить, какой участок пластинки занят ламинарным пограничным слоем.

Для гладкой плоской пластинки значение Ret зависит только от характера потока, обтекающего пластинку. Чем турбулент­ность потока в трубе больше, тем меньше Re„ и наоборот. Драйден при є = 0,5% получил Re, = 1,1 • 10а, а при є = 3% Re, понизилось до 1 . 10=. Английские опыты также показывают

обратную зависимость между Re, плоской пластинки и е®/о. На фиг. 16 эта зависимость дана по опытам в трубе Бюро стандартов (Драйден [8]) и по английским опытам [9, 76]. Мы видим, что при очень малом в величина Не, оказалась равной 2,35 • 10°, т. е. значительно превзошла полученную Драйденом.

бом, который будет разобран, ниже, мы все же получим для опыта М. Джонса Ret^2.10в.

В итоге следует считать, что при ус­ловии отсутствия тур­булентности потока и наличии гладкой по­верхности Ret может достигать значения 2 — 10е и даже несколь­ко превосходить эту величину.

С момента образо­вания турбулентного пограничного слоя у задней части пластин­ки ее коэфициент трения, который мы будем называть переход­ным (с/п), будет вначале при увеличении Re, ввиду передвижения точки перехода впе­

ред, увеличиваться, а затем уменьшаться, но медленнее, чем cfT. При этом каждому Ret будет соответствовать своя кривая зависимо­сти cfn=f(Re).

Даже при очень больших Re всегда бу­дет какой-то очень ма­лый участок у ребра атаки пластинки с ла­минарным пограничным слоем, однако его вли­

настолько малым, что им можно пренебречь и для любых Ret счи­тать cft~cfr (фиг. 18).

Сопротивление трения при смешанной структуре погранич­ного слоя. Наибольший практический интерес представляет определение не си и сп, а с{л, так как для гладких поверхно­стей смешанный пограничный слой является типичным.

Для того чтобы, пользуясь написанными выше формулами, дающими значения cfl и сЛ, выразить cJa при заданном Re, или, что то же самое, при заданных скорости и положении точки перехода, необходимо знать соотношение в точке перехода между "олщинами ламинарного и турбулентного пограничных слоев.

Следует заметить, что, выражаясь точно, нельзя говорить о точке перехода, так как ламинарный пограничный слой превра­щается в турбулент­ный не мгновенно, а на протяжении неко­торого переходного участка. Однако в условиях бестурбу — лентной атмосферы переходная область очень незначитель­на и в большинстве случаев простирается только на 3—5% хорды крыла. При экспе­риментах же в аэродинамических трубах зона перехода нередко достигала 15 и более процентов хорды. Специальные расчеты по­казали, что вполне допустимо с точки зрения определения cfa при переходе, начавшемся в точке а и закончившемся в точке Ь (фиг. 19), считать, что переход произошел мгновенно в точке с, причем толщина пограничного слоя вместо cd сразу стала равна cdі. Точка с берется на середине отрезка аЪ.

Надежных данных по экспериментальному оп­ределению соотношения ST и 2, в точке перехода нет. Существует не­сколько гипотез, базиру­ющихся на различных предположениях.

Согласно гипотезе Прандтля, толщина тур­булентного пограничного слоя в точке перехода такова, какова она была бы. если бы ламинарного участка не было и турбулентный пограничный слой развивался от передней кромки пластинки (фиг. 20). В этом

случае ~ =0,0635

°л

При Re, = 1 • 10” это отношение приблизительно равно 4, а при Re, = 10 • 10е—приблизительно 8. Гипотеза Прандтля не имеет физического обоснования за исключением того, что при ней в точ­ке перехода разрыв в изменении напряжения трения по длине пластинки будет наименьшим.

Действительно, как будет показано ниже, по этой гипотезе толщина турбулентного пограничного слоя в точке перехода

больше, чем по другим гипотезам, а как видно из формулы (7), чем больше 8, тем меньше напряжение трения V

Вместе с тем пользование гипотезой Прандтля очень удобно при подсчете значений cfn.

Если глубина. пластинки равна Ъ и точка перехода лежит на расстоянии t от передней, кромки (фиг. 20), то, естественно, но гипотезе Прандтля, сопротивление трения плоской пластинки со смешанным пограничным слоем будет равно ее сопротивлению при полностью турбулентном слое, уменьшенному на величину Д cfa, характеризующую выигрыш в сопротивлении, вызванный темі, что на участке аЬ пограничный слой не турбулентен, а лами — парен.

Для участка ао коэфициенты трения равны: cfT — -—и

с! Л = 1,328 Re,~°-5. Следовательно, выигрыш в сопротивлении, отнесенный ко всей длине пластинки, будет равен:

Acfa = 1 f —45~8 — 1,328 Ret~^] fa 6 Log к^)2-8 J

Так как Ret = -—uRe — то мы можем заменить отношение ~

Re,

равным ему отношением ; тогда

В таком развернутом: виде формула (12) для cfa мало известна. Широко распространена формула

0,455 1700

Cfa~ (IgRe)2’58- Re’

Формула для с[п была предложена Прандтлем прежде ® виде:

cfa^ 0,074 Re s—~. (13’)

Она вытекала из формулы, аналогичной формуле (12), но с другим выражением для cft, а именно:

при подстановке Re„ равного 485 000 и характерного для аэро­динамической трубы Геттингенской лаборатории, в которой Прандтль производил исследования пограничного слоя.

вычитаемое -гг — не было исправлено и в обращении широко при-

меняется формула (13). При подстановке же Ret = 485 000 в фор­мулу (12) она примет вид:

При замене выражения ct’* выражение

0,455 (lgtfe)2’58

_ 0,455 1600

Cra~(lgRe)2’5S~ Re’

Правда, расхождение. между формулами (13) и (15) невелико.

Значительно более сложны выражения для сГл при других гипотезах.

Поскольку различие между (всеми гипотезами заключается в определении 6т в точке перехода, сам же подсчет cfa одноти­пен, остановимся раньше на определении 8Т.

Допустим, мы знаем отношение-7і в точке перехода. Тогда

оказывается возможным определить расстояние х0 от передней кромки до той точки, в которой должен был бы начать разви­ваться турбулентный пограничный слой, ,для того чтобы » точке

перехода было соблюдено заданное соотношение-у (фиг. 21).Д, ля

3,-0.221 ((-*„) [ІЦЙІХр»5. 0,221

— 0,0315 [ ■] =1328 Re-** +

Подставив из формулы (16) выражение для х0, получаем: ** = 1.328 Я*-°’5(-£-)°’Ч 4-0,0315 Re^li5[ і -1 +* (i-)0-585^146]0’855 -0,0315 #<Г°’145[ k (|)°’5V-15](

этого. пишется выражение для ST на участке (Г—хп) и о, на уча­стке t; «х отношения приравниваются заданному отношению 4чсм.[п]). В данном случае для 2. удобно воспользоваться его выраже­нием, предложенным Хановичем:
Таким путем находим:
(16)
где
_ (_5fi36^_Y7 * “ V 0,221 6а ) ‘
(17)
10.855
(19)
выражение к. Гипотеза Бюргерса основана на предположении, что 2Т = 5,, при этом /с%46. Эта гипотеза не выдерживает критики, так как экспериментально доказано, что в области перехода толщина пограничного слоя увеличивается.

 

Перейдем к гипотезе Кармана.

Поскольку градиент давления при обтекании плоской пластинки равен нулю, мы можем, пользуясь теоремой количества движения, написать следующее выражение для сопротивления трения пла­стинки длиной (по потоку) Ь и шириной 1:

ь ъ

Xr—zdx=vu(V — u)dy. (21)

о о

В этом выражении и = f (у) должно браться для сечения,, прохо­дящего через точку с (фиг. 22), т. е. через конец пластинки.

Карман предложил считать Неразрывным изменение сопротив­ления трения по длине пластинки. При этом, написав выражение Xf для длины t і

t «

xr— J Tdx = j P (uV — u2)dy,

0

мы должны получить одинаковые %f, интегрируя Р (uV — и2) dy по сечению, проходящему через точку Ь (фиг. 22) для ламинар­ного пограничного слоя толщиной bd и для турбулентного толщи­ной be. Выражение Хг мы можем переписать так:

8 г ®

Xf=9(uV-ii>-)dy = ?vA±l(uV-u’)dy =

= pV/2o**=p-y-Cfb,

л L п

где

и

3** = Jy j (uV-u^dy-

8** имеет линейную размерность и носит название толщины по­тери импульса.

Как видно из формулы (22), 8** и cf находятся в простейшей зависимости:

о*» = — І — сГЬ,

где b — длина пластинки, для которой определяются 8** и с

Из данного определения 8** вытекает, что, согласно гипотезе Кармана, в точке перехода от** =г о,*®, так как только при этом условии (в этой точке X ft = ХГл. Поэтому гипотеза Кармана но­сит название гипотезы равенства толщины потери импульса. Ра­венство 3 **=В.** удовлетворяется в случае наличия соотношения *

= 1,65, при котором в свою очередь k = 83 [11].

На фиг. 23 даны ламинарный и турбулентный профили ско­ростей в мгновенной точке перехода. Оче­видно, что расходы воздуха через сечение be будут одинаковы для А и В тогда, когда окажутся равными заштрихованные на фиг. 23 площади, характеризуемые толщиной выте­снения, обычно обозначаемой через о*:

о /

‘а* = {V-u)dy. (24)

О

Четвертой гипотезой является гипотеза равенств расходов, согласно которой в точке перехода должны быть равны толщины вытеснения ламинарного и турбулентного профилей скоростей. Равенство 8Т* = с* может быть удовлетворено лишь при отноше-

нии -”т-= 3,54. При таком соотношении между от и ол в точке пере-

°Л

хода 02. Нарастание толщины пограничного слоя по раз­

личным гипотезам показано схематически на фиг. 21.

На фиг. 24 приведены результаты опытов Г. Лайон, получив­шей на основании расчетов и экспериментов изменения 8** и 8* у. тела вращения. По оси абсцисс отложены доли длины тела,

по оси ординат — произведения 5*® и В* на г = ^ , где г — теку­щий радиус, a D — диаметр тела вращения.

Переход ламинарного пограничного слоя в турбулентный со­провождается резКИМ изменением В течении КРИВОЙ 2j*=/^-£- ‘.

при этом расхождение между расчетной кривой и теоретической становится весьма заметным. Изменение течения кривой z8*® =

= / ^ ^ незначительно и теоретическая кривая почти все время

совпадает с кривой, проведенной через опытные точки. Приве­денные экспериментальные данные говорят в пользу гипотезы Кармана.

Как было указано выше, гипотеза Прандтля не имеет физи­ческих обоснований. По величине сопротивления трения она сильнее отличается от гипотезы Кармана, чем гипотеза равенства толщины вытеснения, и поэтому тем более разойдется с резуль­татами опытов, приведенных на фиг. 24.

Фиг. 24. Изменение толщины вытеснения (А) и толщины потери импульса (В) по длине тела вращения на основе эксперимента и расчета. Пунктир — расчетные кривые; гсплошные линии—экспериментальные кривые; 7 — с решеткой, турбулизирующей поток; 2—без решетки.
cm с, cos о. т о. всз о, оог с.001
ом	05 .	0,6
0,1	0,6	1.0
03
0,7	0.9
0.2

 

На фиг. 25 даны удвоенные коэфициенты трения плоской пла­стинки при различных положениях точки перехода и Re=8,2 • 10е. Величины 2cfa подсчитывались на основании всех перечисленных выше гипотез. Из Сопоставления течения кривых. вытекает, что в зависимости от принятой гипотезы развития пограничного слоя

Фиг. 26. Зависимость удвоенного коэфициента трениятпдоской пластинки 2cf от Re и положения точки перехода по гипотезе Прандтля.

в точке перехода величина сопротивления трения существенно

изменяется. Так, например, при т — — 0,5 по гипотезе Кармана

2с, п =0,0039, а по гипотезе Прандтля 2с, П =0,0035, т. е. на 10,5% меньше.

Хотя мы считаем гипотезу Кармана более обоснованной, чем гипотезу Прандтля, однако, ввиду большой распространенности последней, приводим на фиг. 26 и в табл. 2 значения сг, подсчи­танные по гипотезе Прандтля, а на фиг. 27 и ® табл. 3 значения cf, подсчитанные по гипотезе Кармана. На фиг. 26 и 27 по оси ординат отложены удвоенные коэфициенты трения плоской пластинки (2с,), а в таблицах приведены величины